解法: 円分体を用いたミハイレスクによるカタラン予想の証明(2002年)

1844年のクレレ誌へのカタランの短い記事は、整数 $x,y,u,v>1$ に対する方程式 $x^u-y^v=1$ が唯一の解 $3^2-2^3=1$ しか持たないと予想した。この予想は二つの古典的段階で帰着される。Victor-Amédée Lebesgue(1850)は $x^u-y^2=1$ が $u>1$ で解を持たないことを示した:ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ で $y^2+1=(y+i)(y-i)$ と分解すると、二つの因子の差が $2i$ を割る一方で $y$ は偶数でなければならないので両因子は互いに素であり、各因子が単数を除いて $u$ 乗となり、虚部を比較すると降下法による矛盾を得る。Ko Chao(1965)は鏡像の方程式 $x^2-y^v=1$ を — その唯一の解が $3^2-2^3=1$ であることを — Lebesgue と Nagell が既に扱った場合へ帰着させる合同式の議論で解決した。

指数2の両ケースが消えた後、予想全体は「$x^p-y^q=1$ が零でない整数 $x,y$ と奇素数 $p,q$ で解を持たない」という一つの命題に同値となる(Bilu 2004, §1)。この帰着された方程式は証明全体で利用される厳密な対称性を持つ:$(x,y,p,q)$ が解ならば $(-y,-x,q,p)$ も解である。実際、奇数の $p,q$ に対して $(-y)^q-(-x)^p=1$ は $x^p-y^q=1$ に展開される。

この対称性は見た目の話ではなく、証明の至る所で使われる。順序付き対 $(p,q)$ について証明された整除性・合同式・排除はすべて $(q,p)$ にそのまま適用できる:第1ステップの Cassels の関係式、第3ステップの二つの Wieferich 合同式、第4ステップの排除条件 $p\not\equiv1\pmod q$ はすべて鏡像の対をなし、一度証明すれば二度使われる。Mihăilescu の議論(2002年4月に発表、「Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture」として J. reine angew. Math. 572 (2004) に掲載、Bilu による Séminaire Bourbaki 2002–03, Astérisque 294 の解説)は、この帰着された対称な方程式だけを対象としている。