解法：维亚佐夫斯卡用模形式解决8维与24维球堆积问题

球堆积常数 $\Delta_d$ 是在 $\mathbb{R}^d$ 中互不重叠的单位球的所有堆积上，空间覆盖分数的上确界。人们此前仅精确知道 $d=1$（平凡）、$d=2$（六角堆积，Thue 与 Fejes Tóth）以及 $d=3$（面心立方堆积，Hales 于 1998 年对 Kepler 猜想的证明——有史以来完成的最复杂的证明之一）。在更高的任何维度中，都只存在界限。

8 维和 24 维中的首要候选者早已被确定：$E_8$ 根格在 $\mathbb{R}^8$ 中给出密度 $\pi^4/384\approx0.2537$，而 Leech 格 $\Lambda_{24}$ 在 $\mathbb{R}^{24}$ 中给出 $\pi^{12}/12!\approx0.00193$。Cohn 与 Elkies 2003 年的线性规划方法得出了在这些密度的约 $1.000001$ 倍以内的数值上界——这是最优性的强有力证据，但界限不是定理。

2016 年，Viazovska 通过构造 Cohn 和 Elkies 曾猜想其存在的“魔术函数”证明了 $\Delta_8=\pi^4/384$（步骤 1–5）；一周之后，她与 Cohn、Kumar、Miller 和 Radchenko 将其加以改编证明了 $\Delta_{24}=\pi^{12}/12!$（步骤 6）。维度 1、2、3、8、24 仍然是仅有的已解情形——一份惊人稀疏的清单。