解法: フランクル–ウィルソンの定理によるカーン=カライのボルスク予想の反証

1933年、ボルスクは、有界集合 $S \subset \mathbb{R}^n$ が常に、$d(S) = \max_{x,y \in S} \|x-y\|_2$ より真に小さい直径を持つ $n+1$ 個の部分に分割できると予想した。下限 $f(n) \ge n+1$ は容易である(正単体の頂点、あるいはボルスク・ウラムの定理による球のいずれも、それだけの数の部分を必要とする)。この予想は次元 $n=2$ と $n=3$ で正しいことが証明されており、またあらゆる次元における中心対称または滑らかな凸体についても成り立つため、広く信じられていた。

カーンとカライ以前にも、反例が存在するとすればそれは滑らかな幾何学ではなく組合せ論から来るだろうと示唆する著者が何人かいた。1965年、ルートヴィヒ・ダンツァーは、固定された重みを持つ $\{0,1\}$ ベクトルの有限集合が、直径の小さい $(1.003)^d$ 個の球で覆えないことを示し、高次元の組合せ論的配置が小さな分割に抵抗するという最初の手がかりとなった。ポール・エルデシュとデイヴィッド・ラーマンは、独立にこの方向での真の反例の可能性を提起した。