解法：怀尔斯利用泰勒–怀尔斯方法给出的模性证明(1994年)

费马大定理断言:当 $n \ge 3$ 时,方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有非零整数解。反证法证明从一个纯初等的规范化开始:只需排除指数 $n = 4$ 和奇素数 $p \ge 5$,且可以取解为两两互素(Wiles 1995,第443页)。

事实上,每个整数 $n > 2$ 都能被 $4$ 或某个奇素数 $p$ 整除。写成 $n = 4m$ 或 $n = pm$,一个假想的解 $x^n + y^n = z^n$ 可改写为 $(x^m)^4 + (y^m)^4 = (z^m)^4$ 或 $(x^m)^p + (y^m)^p = (z^m)^p$,因此任何反例都能转移到这些指数之一。费马在1660年前后以无穷递降法解决了 $n = 4$ —— 假想解会产生一个严格更小的解,与正整数的良序性矛盾 —— 欧拉在1770年前以 $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 中的递降法解决了 $p = 3$(其中一处缺口后来由勒让德补上)。互素条件不费分文:任何整除 $a, b, c$ 中两个数的素数 $q$ 必整除第三个,因此将三元组除以 $\gcd(a,b,c)^p$ 即得同一方程的一个两两互素解。

剩下的数据 —— 一个素数 $p \ge 5$ 和满足 $a^p + b^p = c^p$ 的两两互素非零整数 $a, b, c$ —— 正是第2步弗雷构造所需的输入:条件 $p \ge 5$ 在引用关于 $\overline{\rho}_{E,p}$ 的塞尔不可约定理时至关重要,而互素性正是把第3步的判别式计算逼入其刚性 $2p$ 次幂形态的因素。