解法：佩雷尔曼的带手术里奇流(2002–2003年),概要版

Hamilton(1982)提议按 $\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$ 演化闭流形上的黎曼度量 $g_{ij}$。在用调和映射热方程的解所生成的时变微分同胚拉回之后(de Turck 技巧),方程组变为严格抛物的——其主部是粗糙拉普拉斯算子 $\Delta g_{ij}$——从而在闭流形上给出短时间存在唯一性。曲率量按反应–扩散方程演化;对标量曲率有 $\partial_t R = \Delta R + 2|\operatorname{Ric}|^2$,因此最大值原理使 $\min_M R$ 沿流不减。

在三维情形,Hamilton 将张量最大值原理应用于 $\mathrm{Rm}$ 的演化,证明了 Ricci 张量的正性被保持,而且其无迹部分相对于 $R$ 受到夹挤:对某个 $\delta>0$ 有 $|\mathring{\operatorname{Ric}}| \le C R^{1-\delta}$。因此标量曲率大的区域渐近地变圆,再结合 Myers 的直径界,$\operatorname{Ric}>0$ 的三维流形上的体积规范化流对所有时间存在,并光滑收敛到常正截面曲率度量——于是 $M^3$ 是圆 $S^3$ 的商。

Hamilton 纲领要对任意闭三维流形上的任意度量施加同一流,并从其长时间行为读出 Thurston 的几何分解,庞加莱猜想是单连通的特例。障碍在于对一般初始度量,$|\mathrm{Rm}|$ 可能在达到任何良好极限之前就爆破;因此要弄清流收敛到什么,依次需要爆破分析(下一步)、排除退化极限的机制,以及让流越过奇异时刻继续下去的办法。