解法: 対数平均化された相関によるタオのエルデシュ不一致問題の証明(2015年)

この段の表示は $f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}$ の不一致度を定義する:上限 $\sup_{n,d\in\mathbb{N}}\left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right|$ は同次等差数列 $d,2d,\ldots,nd$ に沿った $f$ の最悪の不均衡を測る。エルデシュは1930年代に、この上限がすべての $f$ に対して無限大である—すなわち任意の上界 $C$ に対して $\left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right| > C$ となる $n,d$ が存在する—と予想した。対比のためにロスの1964年の定理を見ると、不一致度 $\gg\sqrt{N}$ が強制されるが、それは任意の開始点を持つ等差数列をすべて許した場合に限られる。$0$ を通る数列への制限こそが乗法的構造が介入できる箇所であり、実際、完全乗法的な $f$ は $\sum_{j=1}^n f(jd) = f(d)\sum_{j=1}^n f(j)$ を満たすので、問題は自身の部分和に帰着する。

この予想は80年間、そして専用のポリマス実験をも生き延びた。ポリマス5(2010年、ガワーズ発起)は手計算と計算機で小さな場合を検証し、不一致度 $2$ を持つ長さ $1160$ の数列を示し、第3段で用いるフーリエ還元を開発した。その後コネフとリシツァの2014年のSATソルバー計算により、長さ $1161$ のあらゆる数列は既に不一致度 $3$ 以上を持つことが示され、同時に不一致度 $3$ のままの長さ約 $13{,}000$ の数列も構成された—非有界な増大は実在するが、どれほど遅くともありうるのである。

タオの2015年の証明(arXiv:1509.05363、Discrete Analysis 2016年)は、実際にはヒルベルト空間内で $\|f(n)\|_H=1$ を満たす $f:\mathbb{N}\to H$ に対するより強いベクトル値の主張を解決している。残りの段は論文の構成に従う:確率的完全乗法的関数 $\mathbf{g}$ への還元(第2節)、対数平均化されたエリオット予想(定理1.10、別稿からの輸入)、そして最後の場合を消去する一般化されたボルワイン–チョイ–クーンズ論法(第4節)である。