解法: ヒッチンファイブレーションと幾何学的台定理によるNgôの証明(2008年)

局所体上の簡約群 $G$(またはそのリー環)における正則半単純元 $\gamma$ に対して、軌道積分 $O_\gamma(\mathbf{1}_K)$ は、コンパクト開部分群 $K$ に関する $\gamma$ の共役類の体積を測る。$\gamma$ はより大きな一つの安定共役類の中でいくつかの通常の共役類に分裂しうるため、これらの類は有限アーベル群 $A$ で添字付けされ、$A$ の指標 $\kappa$ が $\kappa$ 重み付き軌道積分 $O_\gamma^\kappa(\mathbf{1}_K)$ を選び出す。1983年にRobert LanglandsとDiana Shelstadが予想した基本補題(FL、Hales 2011, §1.3–1.4)は、$O_\gamma^\kappa(\mathbf{1}_K)$ が、付随する内視群 $H$ 上の安定軌道積分 $SO_{\gamma^H}(\mathbf{1}_{K^H})$ に、明示的な転送因子を除いて等しいと主張する。

これはまさに、$G$ に対するArthur–Selberg跡公式の幾何学的な辺を $H$ のそれと比較するために必要な局所的な構成要素であり、これによってLanglandsの関手性プログラムは跡公式を安定化し、保型表現を分類する。この等式はすべての場所、すべての簡約群で成り立たねばならず、軌道積分は本当に難しい $p$ 進積分であるため、FLは階数1といくつかの小さな階数の場合が手計算で確認されただけで、ほぼ30年間、一般的な証明に抵抗し続けた(Hales 2011, 序文)。

次のステップは最初の本当の単純化を記録する:Jean-Loup Waldspurgerは、群についての主張がリー環についての類似の主張から従うことを示した。そしてそここそがNgô Bảo Châuの幾何学的な攻略が実際に行われる場所である。