解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

William Browder(1969年)は、Kervaire不変量が $1$ であるなめらかな閉じた枠付き多様体が次元 $n$ に存在するのは、ある $j$ に対して $n = 2^{j+1} - 2$ であり、かつAdamsの $E_2$ ページ $\operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^{2,2^{j+1}}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2)$(mod-$2$ Steenrod代数の計算)におけるクラス $h_j^2$ がすべての微分を生き残り球面の安定ホモトピー群 $\pi_{2^{j+1}-2}^S$ における実際のクラス $\theta_j$ を代表する永続サイクルである場合に限ることを証明した。

これにより、幾何学的な存在問題(そのような多様体は存在するか)が、ホモトピー論における純粋に代数的な生存問題(このただ一つの特定のクラスは微分のもとで消えるか否か)に還元される——さらに、Browderは他のすべての次元では不変量が自動的にゼロになることも示しており、探索は $n = 2^{j+1}-2$ という疎な二重指数的な次元のリストに絞られる。