解法: 同変安定ホモトピー論によるHill–Hopkins–Ravenelの証明(2009年)

William Browder の1969年の画期的研究「The Kervaire invariant of a framed manifold」は、微分トポロジーの幾何学的問題を安定ホモトピー論における代数的生存問題へと転換した。古典的 Kervaire 不変量は、滑らかな構造を持たない最初の位相多様体を構成するために Michel Kervaire が1960年に導入したもので、$(4k+2)$ 次元の枠付き多様体に対しその中間次元ホモロジー上の二次形式の二次精密化を評価して $\mathbb{Z}/2$ の元を対応させる。問題は、どの次元 $n$ で Kervaire 不変量 $1$ の枠付き多様体が存在しうるかを問う。

Browder は2つの構造的事実を証明した。第一に、$n$ が $2^{j+1}-2$ の形でない場合、不変量は恒等的に消滅する：それ以外のすべての次元では中間次元ホモロジー類に対する手術障害がなく常に手術を実行でき、非零の二次形式の値をすべて消去して枠付き球を残せる。第二に、残る次元 $n = 2^{j+1}-2$ では、Kervaire 不変量 $1$ の多様体の存在は、古典的 Adams スペクトル系列における特定の代数的クラスの生存と同値である：mod-$2$ Steenrod 代数 $\mathcal{A}$ 上の元 $h_j^2 \in \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^{2,2^{j+1}}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2)$ が永久サイクルであり、すべての微分 $d_r$（$r \ge 2$）を生き延びて非自明な元 $\theta_j \in \pi_{2^{j+1}-2}^S$ を代表しなければならない。

したがって Browder の帰着は、問題を疎な次元のリスト $n \in \{2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, \ldots\}$ に閉じ込め、挑戦をエキゾチックな滑らかな多様体の構成から Adams スペクトル系列の微分の計算へと移した——ステップ2の低次元での構成と Hill–Hopkins–Ravenel の非存在定理への道を開くものである。