解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)

$f$ の根が「べき根で表せる」とは、有限の体の塔 $\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_r$ で、各段が $K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})$ ($a_i \in K_{i-1}$、指数 $n_i \ge 2$) の形をしており、その根が $K_r$ に属するようなものが存在することを意味する。塔の内部では四則演算は自由に行えるが、それらは体を大きくしないため、真に新しく生成される元は $n_i$ 乗根だけである。古典的な解の公式はまさにこのような塔を逆から読んだもので、二次方程式の解の公式は一段 $\mathbb{Q}(\sqrt{b^2-4ac})$ だけを使い、カルダノの三次方程式の公式は1の三乗根を添加する段と $\sqrt[3]{-q/2+\sqrt{D}}$ を添加する段を必要とする。

「含む」という定式化が重要である。$K_r$ が $f$ の最小分解体 $E$ に一致することは要求せず、$E \subseteq K_r$ のみを要求する。これにより「べき根で解ける」は体の埋め込みに関する性質となり、ルフィーニとアーベルが最初に問うた根の置換に関する問題を純粋な体論へ変換する。すなわち、頂点が $E$ を含むべき根の塔が存在するかどうか、という問題になる。

定義にすでに見える二つの微妙な点が後で重要になる。第一に、被開平数 $a_i$ は $\mathbb{Q}$ だけでなく $K_{i-1}$ 全体を動くので、入れ子が本質的である。これが「根号の中に根号を持つ公式」の形式的な意味である。第二に、一般に $K_i/K_{i-1}$ は正規でもガロアでもないので、生の塔はまだ群論を適用できない。ステップ1がこれを精密化する。