解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)

ステップ 1/8: べき根の塔が「べき根で解ける」を定式化する

ざっくり言うと

二次方程式の解の公式 $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/2a$ のようなべき根の公式は、実のところ係数に対して有限回の加減乗除と累乗根の抽出を施す手順にすぎない。その手順を、 $\mathbb{Q}$ から出発して一度に一つずつ新しいべき根を添加していく体の列として書き下すことで、「公式は存在するか」という漠然とした望みが、実際に研究できる正確な数学的対象へと変わる。

\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_r, \quad K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})

詳しい解説

多項式方程 $f(x)=0$ がべき根で解けるとは、その根が $\mathbb{Q}$ から有限個のべき根拡大の鎖 $K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})$ を経て得られるある体 $K_r$ に含まれることをいう。各段階は $K_{i-1}$ に既にある元の $n_i$ 乗根を添加する。

このステップの用語

体: $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}$ のように、加減乗除(ただしゼロでないものによる除算)について閉じている数の集合のこと。
体の拡大: より小さい体 $K$ を含む体 $L$ のことで、 $L/K$ と書く。新しい元は、 $K$ に根などの追加の数を添加することで作られる。
べき根拡大: $K_{i-1}$ に既にある元 $a$ の $n$ 乗根を添加してできる、一段階の体の拡大 $K_{i-1}(\sqrt[n]{a})$ のこと。

このステップで使う知識

ガロア理論群論