解法: テイラー・ワイルズ法によるワイルズのモジュラー性証明(1994年)

フェルマーの最終定理は、$n \ge 3$ のとき $x^n + y^n = z^n$ が零でない整数解をもたないと主張する。背理法による証明は、まったく初等的な正規化から始まる:指数は $n = 4$ と奇素数 $p \ge 5$ に絞り込み、解は対ごとに互いに素なものとしてよい(Wiles 1995, p. 443)。

実際、$n > 2$ なる任意の整数は $4$ か奇素数 $p$ で割り切れる。$n = 4m$ または $n = pm$ と書くと、仮想的な解 $x^n + y^n = z^n$ は $(x^m)^4 + (y^m)^4 = (z^m)^4$ または $(x^m)^p + (y^m)^p = (z^m)^p$ と書き直せるので、どんな反例もこれらの指数のどれかに移せる。フェルマーは1660年頃、無限降下法 — 仮想的な解から真に小さい解が生じ、正の整数の整列性と矛盾する — により $n = 4$ を解決し、オイラーは1770年までに $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ における降下法で $p = 3$ を解決した(ルジャンドルが後に埋めたギャップを含む)。互いに素であることはただで仮定できる:$a, b, c$ のうち2つを割る任意の素数 $q$ は3番目も割るので、三つ組を $\gcd(a,b,c)^p$ で割れば同じ方程式の対ごとに互いに素な解が得られる。

残ったデータ — 素数 $p \ge 5$ と対ごとに互いに素な零でない $a, b, c$ で $a^p + b^p = c^p$ を満たすもの — は、ステップ2のフライの構成が必要とするまさにその入力である:条件 $p \ge 5$ は $\overline{\rho}_{E,p}$ に対するセールの既約性定理を引用する際に本質的であり、互いに素であることこそがステップ3の判別式計算を強制的な $2p$ 乗の形に追い込むものである。