大問題

古代

1. 100
   奇数の完全数算術と数論. ユークリッド–オイラーの定理により偶数の完全数はメルセンヌ素数 $2^p - 1$ を用いた $2^{p-1}(2^p - 1)$ の形に完全に特徴づけられるが、奇数の完全数が存在しうるかどうかは数学で最も古い未解決問題の1つである。仮に存在すれば、オイラーの形 $N = q^k m^2$ ($q \equiv k \equiv 1 \pmod{4}$)をとり、$10^{1500}$ を超え、少なくとも10個の相異なる素因数を持たなければならない。未解決

近世

1. 1640
   フェルマー素数の有限性算術と数論. フェルマーは1640年、すべての数 $2^{2^n}+1$ が素数であると予想した。オイラーは1732年、$F_5$ を因数分解してこれを反証した。それ以来、$F_5$ から $F_{32}$ まで検査されたすべてのフェルマー数は合成数であることが判明しており、6番目のフェルマー素数は一度も見つかっていない。これにより現代では(逆の)予想、すなわち有限個しか存在しないという予想が立てられている。未解決
2. 1644
   メルセンヌ素数の無限性算術と数論. マラン・メルセンヌは1644年、$2^p-1$ が素数になると考えた指数を列挙した。今日知られているメルセンヌ素数はわずか52個で、最大のものは2024年に発見された $2^{136279841}-1$(4100万桁超)である。新しい素数は見つけるたびに指数関数的に稀になり、ヒューリスティックモデルは無限に存在すると予測するが、証明は存在しない。未解決
3. 1694
   接吻数問題幾何学. $\mathbb{R}^n$ において、同じ大きさの中心球に同時に接することができる互いに重ならない等球の最大数はいくらか。1694年のアイザック・ニュートンとデイヴィッド・グレゴリーの $n=3$ に関する論争に端を発し、正確な値 $k(n)$ は次元 $n = 1, 2, 3, 4, 8, 24$ でのみ知られている。部分的に解決

18世紀

1. 1734
   オイラー–マスケローニ定数の無理性算術と数論, 解析学. 1734年にレオンハルト・オイラーによって調和級数 $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ と自然対数 $\ln n$ の差の極限として導入された定数 $\gamma$ は、$s = 1$ におけるローラン展開 $\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(s-1)$ の定数項や $\Gamma(z)$ のワイエルシュトラス乗積表示をはじめ、解析学・数論・確率論の至るところに現れる。$\pi$ や $e$ と並ぶ解析学の三大古典定数の1つであるにもかかわらず、$\gamma$ が有理数か無理数か、あるいは代数的数か超越数かはいまだにわかっていない。連分数計算によれば、もし $\gamma = p/q$ が有理数であれば、その分母は $q > 10^{242080}$ を満たさなければならない。未解決
2. 1734
   ζ(5) および奇数ゼータ値の無理性算術と数論. 1734年、レオンハルト・オイラーは $\zeta(2) = \pi^2/6$ を求め、より一般にすべての偶数ゼータ値 $\zeta(2k)$ が $\pi^{2k}$ の有理数倍であり、したがって超越数であることを示した。これに対し、奇数ゼータ値 $\zeta(2k+1)$ については $\pi$ を用いた閉じた公式は知られていない。1978年にロジェ・アペリーが $\zeta(3)$ の無理性を証明して数学界を驚かせ、2000～2001年にはタンギー・リヴォアルとキース・ボールが無限に多くの奇数ゼータ値が無理数であることを証明し、ヴァディム・ズディリンが $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ の少なくとも1つが無理数であることを証明した。しかし、$\zeta(5)$ をはじめとする $k \ge 2$ の個々の具体的な値 $\zeta(2k+1)$ の無理性は未解決のままである。未解決
3. 1742
   ゴールドバッハ予想算術と数論. 1742年、ゴールドバッハはオイラーへの手紙の中で、2より大きいすべての整数は3つの素数の和であると提案した(当時は1も素数とみなされていた)。オイラーはこれを、現在標準となっているより強い形――2より大きいすべての偶数は2つの素数の和である――に言い換えた。$4\times10^{18}$ までのすべての偶数についてコンピュータで確認され、強力な部分的結果もあるにもかかわらず、一般の主張はいまだ証明されていない。これとは別の、より弱い主張――弱いゴールドバッハ予想(三素数予想)、すなわち5より大きいすべての奇数は3つの素数の和である――は、2013年にヘルフゴットによって完全に証明された。ランダウ #1未解決

19世紀

1. 1808
   ルジャンドル予想算術と数論. 隣り合う2つの平方数 $n^2$ と $(n+1)^2$ の間——$x = n^2$ において長さ $2n + 1 \approx 2x^{1/2}$ の区間——に常に素数が存在するかを問う問題。1912年にエドムント・ランダウが素数に関する4つの「攻略不能な」問題の1つに挙げたもので、リーマン予想を仮定してさえ未解決である。ランダウ #3未解決
2. 1834
   ガウスの円問題算術と数論, 解析学. 各整数格子点 $(m,n) \in \mathbb{Z}^2$ は面積 $1$ の単位正方形の中心であるため、$x^2+y^2 \le r^2$ の内部にある格子点の個数は円の面積 $\pi r^2$ で近似される。1834年、カール・フリードリヒ・ガウスは初等幾何学的な評価 $|E(r)| \le 2\sqrt{2}\pi r$ を証明し、$E(r) = O(r)$ を示した。シェルピンスキは1906年にこれを $O(r^{2/3})$ へ改良し、一方 G. H. ハーディとエトムント・ランダウは1915年に独立して $E(r)$ が $O(r^{1/2})$ にはなり得ないこと、すなわち $\theta \ge \tfrac{1}{2}$ を証明した。1世紀にわたる指数和手法の改良によりマーティン・ハクスリーの $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$ まで到達したが、予想値 $\theta = \tfrac{1}{2}$ は未解決である。未解決
3. 1849
   ディリクレの約数問題算術と数論, 解析学. $ab \le x$ を満たす正の整数の組 $(a,b)$ を数えることは、幾何学的には第1象限で直角双曲線 $ab = x$ の下にある格子点を数えることと同値である。ペーター・グスタフ・ディリクレは1849年、領域を $\sqrt{x}$ で分割する手法(ディリクレの双曲線法)によって $D(x) = x\log x + (2\gamma - 1)x + O(x^{1/2})$ を証明した。ヴォロノイは1904年に誤差指数を $\tfrac{1}{3}$ へ引き下げ、ハーディとランダウは1915年に $\theta \ge \tfrac{1}{4}$ を示した。$\sum_{n=1}^{\infty} d(n)n^{-s} = \zeta(s)^2$ であることから、この問題は臨界線上のリーマンゼータ関数の増大度と深く結びついており、ガウスの円問題と指数和の手法を共有している。査読済み論文としての最良記録は2003年のマーティン・ハクスリーによる $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$ である。未解決
4. 1849
   双子素数予想算術と数論. $(3,5)$、$(11,13)$、$(17,19)$ のような組は双子素数と呼ばれる。アルフォンス・ド・ポリニャックは1849年に、任意の偶数 $n$ が無限に多くの連続する素数のギャップとなるという主張の $n=2$ の場合として、この予想を一般の形で述べた。この問題は絶望的とみなされていたが、2013年にチャン・イータンが、ある固定された上限以下のギャップが無限回現れることを証明し、予想に向けた最初の驚くべき一歩となった。それ以降、篩理論の改良によって上限は70,000,000から246まで引き下げられたが、これまでのところどの手法もギャップを2にまで絞り込むことはできていない。ランダウ #2未解決
5. 1859
   リーマン予想算術と数論, 解析学. ゼータ関数は素数の分布を符号化しており、その零点は素数計数関数 $\pi(x)$ の誤差項を支配する。リーマンは1859年、自分が計算できた非自明な零点がすべて臨界線 $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$ 上にあることに気づき、これが常に成り立つと予想した。証明されれば素数定理の最も強い形が得られる。数十億個の零点が数値的に検証され、すべてこの直線上にあるが、証明も反証も知られていない。クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題7題のうちの1つである。ミレニアム賞ヒルベルト #8未解決
6. 1876
   ブロカールの問題算術と数論. 1876年と1885年にアンリ・ブロカールによって提起され、1913年にはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンによっても独立に提起されたこの問題は、$n! + 1$ がいつ平方数 $m^2$ になるかを問う。この方程式を満たす組 $(n, m)$ はブラウン数と呼ばれ、$4! + 1 = 5^2$、$5! + 1 = 11^2$、$7! + 1 = 71^2$ の3組しか知られていない。ポール・エルデシュはこれ以外の解は存在しないと予想した。$abc$ 予想を仮定すれば解が有限個しかないことが1993年にマリウス・オーヴァーホルトによって証明されており、コンピュータ探索でも $n = 10^{15}$ まで4番目の解は見つかっていない。未解決
7. 1878
   連続体仮説数学の基礎. カントールは実数全体が非可算であることを示し、その濃度 $2^{\aleph_0}$ が整数の濃度 $\aleph_0$ より真に大きいことを示した。連続体仮説(CH)は、$2^{\aleph_0}$ がまさに次の基数 $\aleph_1$ であるかどうかを問うものである。ゲーデル(1940年)は標準的な ZFC 公理系から CH を反証できないことを示し、コーエン(1963年)は自ら考案した強制法(forcing)という新手法によって CH を証明することもできないことを示した。したがって CH は ZFC から独立しており、CH もその否定も通常の集合論の公理と両立するため、この問いは ZFC だけでは答えが出ない。ヒルベルト #1クルクルト・ゲーデル, 1963
8. 1882
   e + π と e·π の無理性算術と数論. シャルル・エルミートは1873年に $e$ が超越数であることを証明し、フェルディナント・フォン・リンデマンは1882年に $\pi$ が超越数であることを証明した。$(x - e)(x - \pi) = x^2 - (e + \pi)x + e\pi$ であるから、$e$ と $\pi$ は係数が $-(e + \pi)$ と $e\pi$ である二次多項式の根となる。代数的数を係数とする多項式の根はそれ自体が代数的数であるため、$e + \pi$ と $e\pi$ の両方が代数的数になることはあり得ず、$e + \pi$ と $e\pi$ の少なくとも一方は超越数(したがって無理数)である。しかし、$e + \pi$ または $e\pi$ のそれぞれが単独で無理数であるかどうかさえ、まったくわかっていない。未解決
9. 1892
   逆ガロア問題代数学. 19世紀の代数学に端を発し、ダフィット・ヒルベルト（1892年）とエミー・ネーター（1918年）によって定式化された逆ガロア問題は、すべての有限群が $\mathbb{Q}$ 上のガロア群となるかを問う。すべての可解群（シャファレヴィチ 1954年）および全26個の散在型単純群については肯定的に解決されているが、一般には未解決である。未解決
10. 1893
    アダマール予想組合せ論と離散数学, 代数学. $4$ の倍数であるすべての位数 $n$ に対して、成分が $\pm 1$ の $n \times n$ 直交行列（アダマール行列）は存在するか。シルヴェスター（1867年）、アダマールの最大行列式定理（1893年）、ペイリーの有限体構成（1933年）に端を発するこの一般予想は、計算機およびAI援用探索によって $2000$ 以下のすべての $4$ の倍数について構成が達成された現在も未解決である。未解決

20世紀

1. 1900
   ヒルベルトの第16問題微分方程式と力学系, 幾何学. 次数 $n$ の実代数曲線の卵形線がとりうる配置と、平面上の次数 $n$ の多項式ベクトル場のリミットサイクル数に対する一様上界 $H(n)$ を問う問題。個々の多項式系が持つリミットサイクルは有限個である(イリヤシェンコ1991年、エカル1992年)が、$H(n) < \infty$ かどうかは $n = 2$ でさえ未解決である。ヒルベルト #16スメイル #13未解決
2. 1900
   ヒルベルトの第6問題数理物理学. ヒルベルトは、確率論と力学の公理的基礎づけと、微視的な粒子衝突から巨視的な流体方程式を厳密に導出することの双方を求めた。1933年にコルモゴロフが確率論を公理化し、2025年には鄧・ハニ・馬が剛体球力学から長時間ボルツマン方程式と流体方程式を導出したが、現代物理学全体の公理化は依然として開かれている。ヒルベルト #6部分的に解決
3. 1900
   ヒルベルトの第12問題算術と数論. 1のべき根 $\exp(2\pi i/n)$ が $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$ を生成することの一般化として、数体 $K$ のすべてのアーベル拡大に対する明示的な解析的生成元を求める問題。虚二次体については虚数乗法論により、総実体については $p$ 進的な意味でダスグプタとカクデ(2021–2023年)により解決されたが、一般の複素解析的な問題は未解決のままである。ヒルベルト #12未解決
4. 1902
   バーンサイド問題代数学. 1902年にウィリアム・バーンサイドが提起したこの問題は3つの主要な流れに分かれた。一般バーンサイド問題は否定的に解決され（ゴロド–シャファレヴィチ 1964年）、有界バーンサイド問題は $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ で真、十分大きな指数で偽（ノヴィコフ–アディアン 1968年、イワノフ 1994年、リセノク 1996年）だが $n = 5$ などの小さな指数では未解決であり、制限バーンサイド問題はすべての指数に対して肯定的に解決された（ゼルマノフ 1989〜1990年）。部分的に解決
5. 1904
   ソフィー・ジェルマン素数の無限性予想算術と数論. $2p+1$ も素数となる素数 $p$ はソフィー・ジェルマン素数と呼ばれ、対応する $2p+1$ は安全素数と呼ばれる。ソフィー・ジェルマンは19世紀初頭、このような指数に対するフェルマーの最終定理の第1の場合を証明するためにこれらの素数を導入した。安全素数は公開鍵暗号(ディフィー・ヘルマン鍵共有など)で広く使われており、数十万桁に及ぶ巨大な例が計算機によって発見されているものの、ソフィー・ジェルマン素数が無限に存在することは未だ証明されていない。この予想はディクソンの予想やシンツェルの仮説Hの特別な場合であり、ハーディとリトルウッドはその密度に対する精密な経験的漸近公式を与えた。未解決
6. 1908
   リンデレーフ予想算術と数論, 解析学. 1908年にフィンランドの数学者エルンスト・レオナルド・リンデレーフが提唱したリンデレーフ予想は、臨界線 $\mathrm{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$ 上でリーマンゼータ関数が $t$ のいかなる正のべき乗よりも遅く増大すると主張する。フラグメン–リンデレーフの凸性原理と関数等式を組み合わせると、基本的な凸性評価 $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{1}{4}$ が得られる。リーマン予想からはリンデレーフ予想(さらにはより精密な評価 $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)| \ll \exp(C \log t / \log\log t)$)が従うが、リンデレーフ予想単独でも $\zeta(s)$ の零点に関する密度予想や短区間 $[x, x+x^{1/2+\varepsilon}]$ における漸近的素数定理を導くのに十分な強さをもつ。未解決
7. 1909
   π の正規性算術と数論, 確率と統計. エミール・ボレルは1909年に正規数を導入し、ボレル–カンテリの補題を用いて(ルベーグ測度の意味で)ほとんどすべての実数がすべての整数基数 $b \ge 2$ について正規であることを証明した。しかし、数字の連結によって人工的に作られたのではない自然界の定数について正規性を証明することは極めて困難である。$\pi$ については、何兆桁もの10進および16進数字が計算されて一様頻度 $10^{-k}$ の統計検定を通過しており、1996年のベイリー–ボールウェイン–プラウフ(BBP)公式によって $\pi$ の $16$ 進正規性がカオス写像の一様分布と結びつけられたものの、$\pi$ の10進展開に $0, 1, \dots, 9$ のすべての数字が無限回現れるかどうかさえいまだに未解決である。未解決
8. 1910
   結び目解消問題（自明な結び目の認識計算量）位相幾何学(トポロジー), 応用数学と計算数学. 1961年にヴォルフガング・ハーケンによって決定可能性が証明され、現在は無条件に $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$ に属することが示されており、2021年にはマーク・ラッケンビーが準多項式時間 $n^{O(\log n)}$ のアルゴリズムを発表したが、クラス $\mathsf{P}$ に属するかは未解決である。部分的に解決
9. 1911
   内接正方形問題（テプリッツ予想）幾何学, 位相幾何学(トポロジー). 平面内の任意の連続な単純閉曲線は正方形の4頂点を含むか。滑らかな曲線、区分的解析曲線、局所単調曲線については証明されており、滑らかな曲線上のすべての長方形へも拡張された（グリーン・ロブ、2020年）が、一般の連続なジョルダン曲線については未解決である。未解決
10. 1912
    n² + 1 型の素数(ランダウの第4問題)算術と数論. ディリクレの定理は互いに素な任意の一次式 $an + b$ に無限個の素数が現れることを保証するが、2次以上の1変数多項式が無限個の素数値をとることはいまだに1つも証明されていない。1912年にエドムント・ランダウが素数に関する4つの問題の第4番目として掲げた $n^2 + 1$ の場合は未解決であり、無条件で最も近い結果は $n^2 + 1$ が無限にしばしば高々2つの素数の積となるというイヴァニエツの1978年の定理である。ランダウ #4未解決
11. 1917
    掛谷予想解析学, 幾何学. あらゆる方向の単位線分を含む $\mathbb{R}^n$ の集合は零測度になり得るが、ハウスドルフ次元は空間と同じ $n$ でなければならないという予想。$n=2$（デイヴィス、1971年）および2025年の画期的なプレプリントによる $n=3$（ワン・ザール）で解決されたが、$n \ge 4$ は未解決である。部分的に解決
12. 1917
    三点共線回避問題（No-three-in-line問題）組合せ論と離散数学, 幾何学. $n \times n$ の格子上にどの3点も一直線上に並ばないように最大何個の点を配置できるか。鳩の巣原理より各行には高々 $2$ 点しか置けないため $f(n) \le 2n$ である。ヘンリー・デュードニーが1917年に $n = 8$ のチェス盤の問題として提起し、検証された $n \le 74$ のすべてで $f(n) = 2n$ が成り立つものの、大きな $n$ に対する最良の一般構成は $(3/2 - o(1))n$ にとどまっている。未解決
13. 1920
    ススリンの問題数学の基礎. ミハイル・ススリンの死後1920年に公表されたこの問題は、カントールによる $(\mathbb{R}, <)$ の特徴付けにおける可分性を可算鎖条件に弱められるかを問う。イェフ、テネンバウム、イェンセン、およびソロヴェイ–テネンバウム（1967〜1971年）の研究により、ススリンの仮説がZFCから独立であることが確立された。公理系から独立
14. 1927
    原始根に関するアルティンの予想算術と数論, 代数学. 整数 $a$ は、そのべき乗が位数 $p-1$ の乗法群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ 全体を生成するとき、素数 $p$ を法とする原始根と呼ばれる。1927年、エミール・アルティンはヘルムート・ハッセに対し、平方数でない任意の整数 $a \ne -1$ はオイラー積のヒューリスティクスに従う正の割合の素数 $p$ に対して $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ を生成すると予想した。その後レーマーの数値計算により、$a$ の無平方部分が $1 \pmod{4}$ のときに生じる小さな絡み合い補正が見出され、ハイルブロンが密度公式を修正した。1967年にクリストファー・フーリーが一般リーマン予想のもとで修正後の予想を証明し、1986年には D. R. ヒース＝ブラウンが予想の成り立たない素数底は高々2個であることを無条件に示したが、特定の底 $a$ に対して無条件に証明された例は1つもない。未解決
15. 1930
    リトルウッド予想算術と数論. 1次元では、悪近似可能な数 $\alpha$ は $\liminf_{n \to \infty} n \, \|n\alpha\| > 0$ を満たし、$\sqrt{2}$ のような二次無理数がその典型例である。1930年頃、J. E. リトルウッドは2次元ではそのような同時的な障壁は存在しないと予想した。すなわち、2つの近似誤差 $\|n\alpha\|$ と $\|n\beta\|$ を掛け合わせると、積 $n \, \|n\alpha\| \, \|n\beta\|$ はいくらでも小さくなり得るというものである。2006年、マンフレート・アインジードラー、アナトール・カトック、エロン・リンデンシュトラウスは等質力学系を用いて反例となり得る集合のハウスドルフ次元が $0$ であることを証明したが、例外集合が完全に空であるかどうかは未解決のままである。未解決
16. 1930
    ラムゼー数 R(5,5) の値組合せ論と離散数学. $R(3, 3) = 6$ および $R(4, 4) = 18$ が厳密に決定されている一方、5番目の対角ラムゼー数 $R(5, 5)$ はラムゼー理論の誕生から1世紀近く経った現在も未解決であり、$43 \le R(5, 5) \le 46$ という4つの整数の範囲に絞り込まれている。未解決
17. 1933
    レーマーのマーラー測度問題算術と数論, 代数学. 整数係数多項式 $P(x) = a_d \prod_{i=1}^d (x - \alpha_i)$ に対し、そのマーラー測度は $M(P) = |a_d| \prod_{i=1}^d \max(1, |\alpha_i|)$ と定義される。クロネッカーの定理により、$M(P) = 1$ となるのは $P(x)$ が円分多項式と $x$ のべき乗の積であるとき、かつそのときに限る。1933年、D. H. レーマーはマーラー測度が $\lambda \approx 1.1762808$ となる次数 $10$ の多項式を発見し、$1$ と $\lambda$ の間に真に入るマーラー測度を持つ整数係数多項式が存在するかを問うた。特殊な多項式クラスに対する強力な下界や次数 $44$ までの網羅的なコンピュータ探索にもかかわらず、一般の問題は未解決のままである。未解決
18. 1935
    ハッピーエンド問題（エルデシュ・セケレシュ）組合せ論と離散数学, 幾何学. 凸 $n$ 角形の存在を保証するには、平面上の一般の位置に何個の点が必要か。1933年にエスター・クラインが $n = 4$ の場合を提起し、彼女とジョージ・セケレシュの結婚につながったことからポール・エルデシュが「ハッピーエンド問題」と名付けた。予想されている厳密値 $\mathrm{ES}(n) = 2^{n-2} + 1$ は $n \le 6$ でのみ証明されているが、2016年にアンドリュー・スクが漸近評価 $\mathrm{ES}(n) = 2^{n + o(n)}$ を確立した。エルデシュ未解決
19. 1936
    素数ギャップに関するクラメールの予想算術と数論, 確率と統計. 素数定理によれば、$x$ 付近の連続する素数の平均間隔は $\log x$ である。1936年、ハラルド・クラメールは各整数 $n \ge 3$ が独立に確率 $1/\log n$ で「素数」になるとみなす確率モデルを導入し、このランダム列における最大ギャップが確率 $1$ で $(\log x)^2$ のオーダーで増大することを証明した。1995年にアンドリュー・グランヴィルが小さな素数による局所的な整除性を考慮すると上極限は $1$ ではなく少なくとも $2e^{-\gamma} \approx 1.1229$ になるべきだと指摘したものの、オーダーとしての評価 $g_n = O((\log p_n)^2)$ は依然として広く信じられており、現在の手法では全く手が届かない——リーマン予想を仮定してさえ $g_n = O(\sqrt{p_n}\log p_n)$ しか得られない。未解決
20. 1937
    コラッツの予想算術と数論, 微分方程式と力学系. 偶数は半分に、奇数は3倍して1を足す操作を繰り返すと、すべての正の整数はいずれ1に到達すると予想されているが、何十年ものコンピュータ検証にもかかわらず証明されていない。未解決
21. 1939
    ヤコビアン予想代数学, 解析学. 標数ゼロにおいてヤコビ行列式が非零定数である多項式写像 $k^n \to k^n$ が常に多項式逆写像を持つかを問う問題。$n \ge 3$ については2026年に反例が与えられたが、平面の場合 $n = 2$ は未解決である。スメイル #16部分的に解決
22. 1941
    加法的基底に関するエルデシュ・トゥーラン予想算術と数論, 組合せ論と離散数学. 自然数の集合が2元の和によって十分大きいすべての整数を覆う（位数 $2$ の漸近的基底である）ならば、2元の和としての表し方がいくらでも多くなる整数が必ず存在するか。1941年にポール・エルデシュとパール・トゥーランが提唱した予想 $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) = \infty$ は現在も未解決である。エルデシュ未解決
23. 1941
    グラフ再構成予想組合せ論と離散数学. $3$ 頂点以上の任意の有限単純グラフは、1頂点を削除した部分グラフの多重集合によって同型を除いて一意に決定されるか。1941年にポール・J・ケリーとスタニスワフ・ウラムによって定式化されたこの予想は、木、正則グラフ、非連結グラフ、およびほとんどすべてのグラフについて証明されているが、一般には未解決である。未解決
24. 1943
    ハドウィガー予想（グラフマイナー）組合せ論と離散数学. $\chi(G) \ge t$ ならばグラフ $G$ は必ず完全グラフ $K_t$ をマイナーとして含むか。四色定理の広範な一般化として1943年にフーゴー・ハドウィガーが提唱したこの予想は、$t \le 6$ まで証明されており（ロバートソン、シーモア、トーマス、1993年）、$t \ge 7$ はすべて未解決である。未解決
25. 1946
    エルデシュの単位距離問題幾何学, 組合せ論と離散数学. 平面上の $n$ 個の点のうち、距離 $1$ にある対は最大いくつあるか。上界は $O(n^{4/3})$ であり、2026年の代数的整数論に基づく構成により $u(n) = \Omega(n^{1+c})$ が示され、エルデシュの $n^{1+o(1)}$ 予想は反証された。エルデシュ未解決
26. 1948
    エルデシュ–シュトラウス予想算術と数論. 1948年にポール・エルデシュとエルンスト・G・シュトラウスによって定式化されたこのエジプト分数予想は、$4/n$ が常に3つの正の整数の逆数の和として表せるかを問う。約数 $d \mid n$ に対する分解は定数倍によって $n$ の分解を与えるため、$n = p$ が素数の場合について証明すれば十分である。簡単な代数的恒等式によって $p \not\equiv 1 \pmod{24}$ を満たす素数は直ちに解決され、より大きな法による被覆系がほとんどの剰余類を排除することで $n = 10^{17}$ までのコンピュータ検証が可能となっているが、有限個の恒等式からなる完全な被覆系は存在し得ない。エルデシュ未解決
27. 1949
    不変部分空間問題解析学. 無限次元可分複素ヒルベルト空間上のすべての有界線形作用素が非自明な閉不変部分空間を持つかどうかを問う問題。未解決
28. 1949
    自己回避歩行の臨界指数確率と統計. 1949年にポール・フローリーによってポリマー鎖のモデルとして導入された自己回避歩行は、物理学者によって普遍的な臨界指数（$d = 2$ で $\nu = 3/4$、$\gamma = 43/32$；$d = 3$ で $\nu \approx 0.5876$）を持つと予想されている。原隆とゴードン・スレイドは1992年にレース展開を用いて $d \ge 5$ における平均場的な値 $\nu = 1/2$、$\gamma = 1$ を厳密に証明したが、物理的に中心的な次元である $d = 2$ と $d = 3$ における指数は依然として未証明のままである。未解決
29. 1950
    ハドウィガー・ネルソン問題組合せ論と離散数学, 幾何学. 距離が $1$ 離れたどの2点も同色にならないように平面 $\mathbb{R}^2$ を塗るには何色必要か。1950年にエドワード・ネルソンが提唱して以来 $4 \le \chi(\mathbb{R}^2) \le 7$ が古典的評価であったが、2018年にオーブリー・ド・グレイが下界を $5$ に引き上げ、現在は $\chi(\mathbb{R}^2) \in \{5, 6, 7\}$ が未解決となっている。未解決
30. 1950
    ハイルブロンの三角形問題幾何学. 単位正方形内の $n$ 点がつくる最小三角形の面積は最大でどれほど大きくなり得るか。ハイルブロン自身の当初の予想 $O(1/n^2)$ は1981年に反証され（$\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2)$）、2023〜2024年にはコーエン、ポホアタ、ザハロフが40年間破られなかった上界記録を更新して $\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)}$ を証明した。未解決
31. 1950
    ホッジ予想幾何学, 代数学. ホッジ類とは、多様体の複素構造が「図形的」であると選び出すコホモロジー類のことである。予想は、そのようなホッジ類がすべて実際に真の代数的部分多様体から生じるかを問う。1924年のレフシェッツによって余次元1で正しいことが分かっており、次元5までのアーベル多様体でも成り立つが、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題7題の1つであり、一般には未解決のままである。ミレニアム賞未解決
32. 1950
    ホワイトヘッド問題数学の基礎, 代数学. 1950年にJ. H. C. ホワイトヘッドがホモロジー代数において提起したこの問題は、$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(A, \mathbb{Z}) = 0$ を満たす任意のアーベル群 $A$ が自由であるかを問う。1974年にサハロン・シェラハが、その答えはZFCから独立であり、ゲーデルの構成可能宇宙 $V = L$ では真、マーティンの公理と $\neg\text{CH}$ の下では偽であることを証明した。公理系から独立
33. 1957
    群環に関するカプランスキーの予想代数学. 1940年のグラハム・ヒグマンの学位論文に遡り、1956年のシェルター島会議でアーヴィング・カプランスキーによって広められたこれらの予想は、ねじれのない群の群環が整域と同じくらい構造的に整っていることを提唱する。2021年2月、ジャイルズ・ガーダムはプロミスロー群 $P$ に対する $\mathbb{F}_2[P]$ 内の明示的な単元を用いて単位元予想を反証し、後にすべての標数へと拡張された。零因子予想とべき等元予想は一般には未解決だが、多くの群のクラスで証明されている。部分的に解決
34. 1957
    3次元パーコレーションにおける相転移の連続性確率と統計. ブロードベントとハマーズリーが1957年にランダム媒質中の流体の流れをモデル化するためパーコレーションを導入した。臨界点 $p_c$ でパーコレーション確率 $\theta(p)$ に飛びがないこと（連続な「2次」相転移）は、$2$ 次元および $d \ge 11$ ではレース展開により証明されているが、物理的に重要な $d = 3$ の場合は今なお著名な未解決問題である。未解決
35. 1958
    シンツェルの仮説Hとブニャコフスキー予想算術と数論. ヴィクトル・ブニャコフスキーは1857年、正の最高次係数をもち固定素因数をもたない単一の既約整数係数多項式 $f(x)$ は無限に多くの素数を表すと予想した。その1世紀後の1958年、アンジェイ・シンツェルとヴァツワフ・シェルピンスキはこれをそのような多項式の有限族へと拡張した(仮説H)。完全に証明されている唯一の場合は単一の一次多項式($k=1, \deg f_1 = 1$)であり、これは算術級数に関するディリクレの定理にほかならない。仮説Hは素数論における最も深い未解決問題の多くを統一する:$f_1(x)=x, f_2(x)=x+2$ は双子素数予想を、$f_1(x)=x, f_2(x)=2x+1$ はソフィー・ジェルマン素数の無限性を、$f_1(x)=x^2+1$ はランダウの第4問題を与える。未解決
36. 1958
    センドフ予想解析学. 閉単位円板内にすべての零点を持つ複素多項式の各零点から距離 $1$ 以内に必ず臨界点が存在するかを問う問題。次数 $n \le 8$ および十分大きなすべての次数 $n \ge n_0$ に対して証明されている。部分的に解決
37. 1960
    エルデシュ・ラドのひまわり予想組合せ論と離散数学. どの2つの共通部分もすべて一致するような $r$ 個の集合（ひまわり）を含まない $w$ 元集合の族は、最大でどれほど大きくなり得るか。1960年にポール・エルデシュとリチャード・ラドが階乗上界 $w! (r - 1)^w$ とともに提唱したこの予想は、2019年にアルワイス、ロヴェット、ウー、チャンによって画期的な進展（のちに $(C r \log w)^w$ まで改良）を見たが、純粋な指数上界 $C_r^w$ は未解決である。エルデシュ未解決
38. 1961
    4次元滑らかなポアンカレ予想位相幾何学(トポロジー). すべての圏と次元を通じて一般化ポアンカレ予想で唯一未解決のまま残されている問題。$4$ 次元球面 $S^4$ 上にエキゾチックな微分構造が存在するか、それともすべての滑らかなホモトピー $4$ 次元球面は標準的な $S^4$ と微分同相であるか。未解決
39. 1963
    タイト予想算術と数論, 幾何学. 1963年のウッズホール会議でジョン・タイトによって提唱されたこの算術的版のホッジ予想は、すべてのガロア不変な $\ell$-進コホモロジー類が代数的サイクルから来るかを問う。有限体上（タイト 1966年）および数体上（ファルティングス 1983年）のアーベル多様体の因子、およびK3曲面については証明されているが、一般の多様体上のより高い余次元のサイクルについては未解決である。未解決
40. 1964
    チェルニー予想（同期オートマトン）組合せ論と離散数学, 応用数学と計算数学. $n$ 状態の有限オートマトンが初期状態によらず単一の状態にリセット可能であるとき、最短のリセット語は最悪の場合にどれほどの長さを要するか。ヤーン・チェルニーは1964年に $(n-1)^2$ で常に十分であると予想したが、現在知られている最良の一般上界は依然として $n$ の3次式のままである。未解決
41. 1965
    バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想算術と数論. 楕円曲線の有理点の階数が、そのL関数のs=1における消滅位数に等しいと予想する — その位数が0または1の場合にのみ証明されている。ミレニアム賞未解決
42. 1966
    モーザーの虫問題幾何学. 回転と平行移動によって長さ $1$ のあらゆる曲線を覆うことができる平面図形の最小面積はいくらか。最小面積は未解決であり、凸領域では $0.232239$ と $\pi/12 \approx 0.2618$ の間（非凸領域では上界 $0.260437$）にあることが知られている。未解決
43. 1966
    ソファ問題幾何学, 応用数学と計算数学. 幅 $1$ の通路の直角コーナーを曲がれる最大の平面図形の面積はいくらか。ガーバーの18曲線からなるソファが面積 $\approx 2.2195$ を達成しており、2024年11月にペク・ジノンが発表した画期的なプレプリントがその最適性の完全な証明を主張している。未解決
44. 1966
    シャヌエルの予想算術と数論, 代数学. 1960年代にイェール大学の講義でスティーヴン・シャヌエルが定式化し、セルジュ・ラングの著書 Introduction to Transcendental Numbers (1966年)で公表されたシャヌエルの予想は、指数関数に関する超越数論の中心的な統一予想である。この予想はリンデマン–ワイエルシュトラスの定理($z_1, \dots, z_n$ が代数的数の場合)、代数的数の対数の一次独立性に関するベイカーの定理($e^{z_1}, \dots, e^{z_n}$ が代数的数の場合)、およびゲルフォント–シュナイダーの定理を包含するだけでなく、$e$ と $\pi$ の代数的独立性や $e + \pi$、$e\pi$、$e^e$、$\pi^e$ の超越性といった主要な未解決問題をも導く。現在完全に証明されているのは $n = 1$ の場合(エルミート–リンデマン)と、すべての $z_i$ またはすべての $e^{z_i}$ が代数的である特別な場合に限られる。未解決
45. 1967
    優美な木予想組合せ論と離散数学. $m$ 本の辺をもつ任意の木の頂点に $0$ から $m$ までの異なる整数を割り当て、辺の両端の差の絶対値が $1$ から $m$ までのすべての整数をちょうど1回ずつ実現するようにできるか。1960年代にリンゲル、コツィグ、ロサによって定式化されたこの予想は、$35$ 頂点までの計算機検証や2020年のリンゲル分解予想の漸近的解決にもかかわらず未解決のままである。未解決
46. 1967
    ラングランズ・プログラム算術と数論, 代数学. 数論、表現論、代数幾何学を結びつける壮大な統一予想群。関数体上の $\mathrm{GL}_n$ や不分岐幾何学的ラングランズ予想（2024年）は解決されたが、代数体上の一般の相互律と関手性は未解決である。部分的に解決
47. 1967
    孤独なランナー予想組合せ論と離散数学, 算術と数論. イェルク・ウィルス（1967年）とトーマス・クジック（1974年）によって独立に提唱されたこの予想は、異なる一定速度で走る円形コースのランナー全員が、少なくとも $\frac{1}{n}$ の距離で他の全員から孤立する瞬間があるかどうかを問う。2001年から2026年にかけての一連の突破口により $n \le 13$ 人のケースで検証されているが、一般の場合は未解決のままである。未解決
48. 1968
    エリオット–ハルバースタム予想算術と数論, 解析学. 一般リーマン予想は、任意の法 $q \le x^{1/2-\varepsilon}$ に対して、$x$ 以下の素数が法 $q$ の互いに素な $\varphi(q)$ 個の剰余類に平方根オーダーの誤差で均等分布すると予測する。1965年、エンリコ・ボンビエリと A. I. ヴィノグラードフはこの分布レベル $\theta = 1/2$ が $q$ に関する平均の意味で無条件に成り立つことを証明した。1968年、ピーター・エリオットとハイニ・ハルバースタムは、$q$ について平均をとれば分布レベルは任意の $\theta < 1$ にまで達すると予想した——これは個々の法に対して一般リーマン予想が与える範囲さえ超えている。この予想は現代の篩法における決定的な解析的入力であり、ゴールドストン、ピンツ、ユルドゥルム、そして後のメイナードや Polymath8 は、この予想のもとで素数間の有界ギャップが $12$(一般化のもとでは $6$)まで縮まることを示した。未解決
49. 1969
    グロタンディークの標準予想幾何学, 代数学. 1968年にアレクサンダー・グロタンディークがモチーフ理論の枠組みとして定式化した標準予想は、代数的サイクルとコホモロジーを結びつける深い構造的性質を提唱するものである。曲線、曲面、アーベル多様体、特定の超ケーラー多様体に対しては証明されているが、一般の滑らかな射影多様体に対しては未解決のままであり、1974年のドリーニュによるヴェイユ予想の証明はこれらを迂回して行われた。未解決
50. 1969
    行列乗算の指数 $\omega$応用数学と計算数学, 代数学. 1969年にシュトラッセンが $\omega < \log_2 7 \approx 2.8074$ を示して以来、レーザー法の相次ぐ改良により上界は $\omega < 2.371177$ まで引き下げられたが、自明な下界 $\omega \ge 2$ は動いておらず、多くの研究者は $\omega = 2$ と予想している。未解決
51. 1971
    グラフ同型問題の計算量応用数学と計算数学, 組合せ論と離散数学. グラフ同型問題が多項式時間（$\mathsf{P}$）で解けるかを問う問題。ラースロー・ババイは2015–2017年に準多項式時間 $\exp((\log n)^{O(1)})$ で解けることを証明した。未解決
52. 1971
    P対NP問題応用数学と計算数学, 数学の基礎. 解を素早く確認できる問題はすべて素早く解けるのかを問う — 計算複雑性理論における中心的な未解決問題であり、クレイ・ミレニアム賞の対象でもある。ミレニアム賞未解決
53. 1973
    等差数列に関するエルデシュ予想算術と数論, 組合せ論と離散数学. 逆数和が $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$ ならば、$A$ は任意の長さの等差数列を含むか。$k = 3$ の場合はトーマス・ブルームとオロフ・シサスク（2020年）により証明されたが、$k \ge 4$ はすべて未解決である。エルデシュ未解決
54. 1977
    エルデシュ・ハイナル予想組合せ論と離散数学. 一般の $n$ 頂点グラフでは対数サイズ $\Theta(\log n)$ のクリークまたは独立集合しか保証されないのに対し、ポール・エルデシュとアンドラーシュ・ハイナルは1977年、任意の固定された誘導部分グラフ $H$ を禁止すれば多項式サイズ $n^{\delta_H}$ のクリークまたは独立集合が強制されると予想した。エルデシュ未解決
55. 1979
    合併閉集合予想（フランクル予想）組合せ論と離散数学. 合併に関して閉じた任意の有限集合族 $\mathcal{F} \neq \{\emptyset\}$ には、少なくとも $\frac{1}{2}$ の割合の集合に属する元が必ず存在するか。1979年にペーテル・フランクルが提唱したこの予想は、2022年にジャスティン・ギルマーがシャノン・エントロピーを用いて初の定数下界（$0.01$、直後に $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382$ まで改良）を証明する大躍進を遂げたが、$\frac{1}{2}$ は未解決である。未解決
56. 1982
    マンデルブロ集合の局所連結性予想（MLC）微分方程式と力学系, 解析学. マンデルブロ集合 $M \subset \mathbb{C}$ が局所連結であるかを問う予想であり、成り立てば $M$ の完全な組合せ論的モデルが与えられ、双曲的二次多項式の稠密性が従う。未解決
57. 1985
    abc予想算術と数論. 互いに素な $a+b=c$ について、$c$ が $abc$ を割り切る相異なる素数の積よりはるかに大きくなることは稀であると予想する — 1985年に提案され、2012年の証明主張は2021年に公表されたが、多くの数論学者に受け入れられていない。未解決
58. 1993
    ビール予想算術と数論. 1993年にダラスの銀行家でアマチュア数学者のアンドリュー・ビールがフェルマーの最終定理の一般化を調べる中で定式化した予想であり、一般化されたフェルマー方程式 $A^x + B^y = C^z$ は、3つの指数がすべて $x, y, z \ge 3$ を満たすとき、互いに素な正の整数 $A, B, C$ の解を持たないと主張する。$1^n + 2^3 = 3^2$ や、底が素因数 $2$ を共有する $2^3 + 2^3 = 2^4$ のような恒等式から、指数の条件 $x, y, z > 2$ と互いに素という仮定の両方が不可欠であることがわかる。アメリカ数学会(AMS)は、証明または反例に対してビールが出資した USD $1{,}000{,}000$ の賞金を管理している。未解決
59. 1997
    体積予想（結び目理論）位相幾何学(トポロジー). リナト・カシャエフ（1997年）および村上斉・村上順（2001年）によって提唱された、1のべき根 $e^{2\pi i/N}$ における $N$-色付きジョーンズ多項式の漸近的増大度が結び目補空間の双曲体積を与えるという予想。未解決

現代

1. 2000
   ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ微分方程式と力学系. 3次元非圧縮ナビエ–ストークス方程式が、滑らかな初期データから常に滑らかで大域的に定義された解を持つのか、それとも有限時間で爆発しうるのかを問う — クレイ・ミレニアム懸賞問題の7つのうちの1つ。ミレニアム賞スメイル #15未解決
2. 2000
   ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題数理物理学, 解析学. 古典的なヤン–ミルズ場は光子と同様に質量を持たないが、量子世界においてそれが記述する強い核力は短距離力であり、グルーオンやクォークを質量のある粒子へと閉じ込める。4次元量子ヤン–ミルズ理論を数学的に厳密に構成し、その質量ギャップ $\Delta > 0$ を証明することは、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題7題の1つである。ミレニアム賞未解決
3. 2002
   ユニークゲーム予想応用数学と計算数学. 2002年にスブハシュ・ホットが提唱したユニークゲーム予想は、全単射制約を持つ一見単純な制約充足問題の近似がNP困難であると主張する。もし正しければ、最大カット問題や頂点被覆問題をはじめとするあらゆる制約充足問題において、標準的な半正定値計画緩和が最良の近似比を達成することが導かれる。未解決